Теория игр и статистических решений. Реферат: Теория игр и её практическое применение Основной недостаток моделей созданных в теории игр

В предыдущих трех главах мы рассматривали вопросы, связанные с математическим моделированием (а иногда и оптимизацией решений), в случаях, когда условия операции содержат неопределенность, но относительно «доброкачественную», стохастическую, которая в принципе может быть учтена, если знать законы распределения (на худой конец - числовые характеристики) фигурирующих в задаче случайных факторов.

Такая неопределенность - еще «полбеды». В этой главе мы рассмотрим (по необходимости бегло) гораздо худший вид неопределенности (в § 5 мы назвали ее «дурной»), когда некоторые параметры, от которых зависит успех операции, неизвестны, и нет никаких данных, позволяющих судить о том, какие их значения более, а какие - менее вероятны. Неопределенными (в «дурном» смысле) могут быть как внешние, «объективные» условия операции, как и «субъективные» - сознательные действия противников, соперников или других лиц. Как известно, «чужая душа - потемки», и предсказывать, как себя поведут эти лица, еще труднее, чем предсказывать в области случайных явлений.

Разумеется, когда речь идет о неопределенной (в «дурном» смысле) ситуации, выводы, вытекающие из научного исследования, не могут быть ни точными, ни однозначными. Но и в этом случае количественный анализ может принести пользу при выборе решения.

Такого рода задачами занимается специальный раздел математики, носящий причудливое название «теория игр и статистических решений». В некоторых (редких) случаях разработанные в нем методы дают возможность фактически найти оптимальное решение. Гораздо чаще эти методы позволяют попросту глубже разобраться в ситуации, оценить каждое решение с различных (иногда противоречивых) точек зрения, взвесить его преимущества и недостатки и, в конце концов, принять решение, если не единственно правильное, то, по крайней мере, до конца продуманное.

Нельзя забывать, что при выборе решения в условиях неопределенности неизбежен некоторый произвол и элемент риска. Недостаток информации - всегда беда, а не преимущество (хотя именно при отсутствии информации исследователь может щегольнуть наиболее тонкими математическими методами). Тем не менее, в сложной ситуации, плохо обозримой в целом, когда, как говорится, «рябит в глазах» от подробностей, всегда полезно представить варианты в такой форме, чтобы сделать произвол выбора менее грубым, а риск - по возможности минимальным. Нередко задача ставится так: какой ценой можно заплатить за недостающую информацию, чтобы за ее счет повысить эффективность операции? Заметим, что иногда для выбора решения и не требуется точной информации об условиях, а достаточно только указать «район», в котором они находятся (метод «районирования» И. Я. Динера, см. ).

В данной главе излагаются некоторые минимальные сведения из теории игр и статистических решений. Для более подробного ознакомления с нею можно рекомендовать работы .

Наиболее простыми из ситуаций, содержащих «дурную» неопределенность, являются так называемые конфликтные ситуации. Так называются ситуации, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные (иногда противоположные) цели, причем выигрыш каждой стороны зависит от того, как себя поведут другие.

Примеры конфликтных ситуаций многообразны. К ним, безусловно, принадлежит любая ситуация, складывающаяся в ходе боевых действий, ряд ситуаций в области экономики (особенно в условиях капиталистической конкуренции). Столкновение противоречащих друг другу интересов наблюдается также в судопроизводстве, в спорте, видовой борьбе. В какой-то мере противоречивыми являются также взаимоотношения различных ступеней иерархии в сложных системах. В некотором смысле «конфликтной» можно считать и ситуацию с несколькими критериями: каждый из них предъявляет к управлению свои требования и, как правило, эти требования противоречивы.

Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.

Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и ее анализ затруднен наличием привходящих, несущественных факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, строится его математическая модель. Такую модель называют игрой.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила указывают «права и обязанности» участников, а также исход игры - выигрыш или проигрыш каждого участника в зависимости от сложившейся обстановки. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтов - «играми» в буквальном смысле слова (шашки, шахматы, карточные игры и т. п.). Отсюда и название «теории игр», и ее терминология: конфликтующие стороны условно называются «игроками», одно осуществление игры - «партией», исход игры-«выигрышем» или «проигрышем». Мы будем считать, чтсг выигрыши (проигрыши) участников имеют количественное выражение (если это не так, то всегда можно им его приписать, например, в шахматах считать «выигрыш» за единицу, «проигрыш» - за минус единицу, «ничью» - за нуль).

В игре могут сталкиваться интересы двух или более участников; в первом случае игра называется «парной», во втором - «множественной». Участники множественной игры могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Одна из задач теории игр - выявление разумных коалиций во множественной игре и правил обмена информацией между участниками. Множественная игра с двумя постоянными коалициями, естественно, обращается в парную.

Развитие игры во времени можно представлять как ряд последовательных «ходов» участников. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Хоцы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действий (пример - любой ход в шахматах).

При случайном ходе выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, вынимание карты из колоды и т. п.). Некоторые игры (так называемые «чисто азартные») состоят только из случайных ходов - ими теория игр не занимается. Ее цель - оптимизация поведения игрока в игре, где (может быть, наряду со случайными) есть личные ходы. Такие игры называются стратегическими.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Обычно, участвуя в игре, игрок не следует каким-либо жестким, «железным» правилам: выбор (решение) принимается им в ходе игры, когда он непосредственно наблюдает ситуацию. Однако теоретически дело не изменится, если предположить, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). Это будет значить, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а передать список правил незаинтересованному лицу (судье). Стратегия также может быть задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы ЭВМ).

В зависимости от числа стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные». Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении только конечное число стратегий (в противном случае игра называется бесконечной). Бывают игры (например, шахматы), где в принципе число стратегий конечно, но так велико, что полный их перебор практически невозможен.

Оптимальной стратегией игрока называется такая, которая обеспечивает ему наилучшее положение в данной игре, т. е. максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно и содержит, кроме личных, еще и случайные ходы, оптимальная стратегия обеспечивает максимальный средний выигрыш.

Задача теории игр - выявление оптимальных стратегий игроков. Основное предположение, исходя из которого находятся оптимальные стратегии, состоит в том, что противник (в общем случае - противники) по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Расчет на разумного противника - лишь одна из возможных позиций в конфликте, но в теории игр именно она кладется в основу.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выигрышей всех игроков равна нулю (т. е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Самый простой случай - парная игра с нулевой суммой - называется антагонистической (или игрой со строгим соперничеством). Теория антагонистических игр - наиболее развитый раздел теории игр, с четкими рекомендациями. Ниже мы познакомимся с некоторыми ее понятиями и приемами.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной («идеальной») разумности противника (противников). В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник «глуп», и воспользоваться этой глупостью в свою пользу. Схемы теории игр не включают элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. В теории игр выявляется наиболее осторожное, «перестраховочное» поведение участников конфликта. Сознавая эти ограничения и поэтому не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать аппарат теории игр как «совещательный» при выборе решения (подобно тому, как молодой, энергичный полководец может прислушаться к мнению умудренного опытом, осторожного старца).

Предмет и задачи теории игр

Тема 1.Введение в теорию игр. Основные понятия и определения теории игр.

Как самостоятельная область науки впервые теория игр была систематизировано изложена в монографии Дж.фон Неймана и О.Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение” в 1944 г.

Игра - это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что и порождает конфликт. Конфликт не обязательно предполагает наличие антагонистических противоречий сторон, но всегда связан с определенного рода разногласиями. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антагонизм интересов порождает конфликт, а совпадение интересов сводит игру к координации действий (кооперации).

Примерами конфликтной ситуации являются ситуации, складывающиеся во взаимоотношениях покупателя и продавца; в условиях конкуренции различных фирм; в ходе боевых действий и др. Примерами игр являются и обычные игры: шахматы, шашки, карточные, салонные и др. (отсюда и название “теория игр” и ее терминология).

В большинстве игр, возникающих из анализа финансово-экономических, управленческих ситуаций, интересы игроков (сторон) не являются строго антагонистическими ни абсолютно совпадающими. Покупатель и продавец согласны, что в их общих интересах договориться о купле-продаже, однако они энергично торгуются при выборе конкретной цены в пределах взаимной выгодности.

Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций.

Цель теории игр - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта (определение оптимальных стратегий поведения игроков).

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правилами устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана, и больше ходов делать не разрешается.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной (“идеальной”) разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник “глуп” и воспользоваться этой глупостью в свою пользу .

Еще одним недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные действия (стратегии) противника, неизвестно лишь то, каким именно из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень всех возможных стратегий противника как раз и неизвестен, а наилучшим решением в конфликтной ситуации нередко будет именно выход за пределы известных противнику стратегий, “ошарашивание” его чем-то совершенно новым, непредвиденным .

Теория игр не включает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она определяет наиболее осторожное, “перестраховочное” поведение участников конфликта.

Кроме того, в теории игр находятся оптимальные стратегии по одному показателю (критерию). В практических ситуациях часто приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых критериев. Стратегия, оптимальная по одному показателю, может быть неоптимальной по другим.

Сознавая эти ограничения и потому, не придерживаясь слепо рекомендаций, даваемых теорий игр, можно все же выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.

В настоящее время ведутся научные исследования, направленные на расширение областей применения теории игр.

«Что наша жизнь? – Игра.»

«Пиковая дама».

П.И.Чайковский

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

1.1. Предмет и задачи теории игр

Первую попытку создать математическую теорию игр предпринял в 1921 г. Э.Борель. Как самостоятельная область науки впервые теория игр была систематизировано изложена в монографии Дж.фон Неймана и О.Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение” в 1944 г. С тех пор многие разделы экономической теории (например, теория несовершенной конкуренции, теория экономического стимулирования и др.) развивались в тесном контакте с теорией игр . Теория игр с успехом применяется и в социальных науках (например, анализ процедур голосования, поиск равновесных концепций, определяющих кооперативные и некооперативные поведения лиц). Как правило, избиратели отводят кандидатов, представляющих крайние точки зрения, но при избрании одного из двух кандидатов, предлагающих различные компромиссные решения, возникает борьба. Даже идея Руссо об эволюции от «естественной свободы» к «гражданской свободе» формально соответствует с позиций теории игр точке зрения на кооперацию.

Игра - это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что и порождает конфликт. Конфликт не обязательно предполагает наличие антагонистических противоречий сторон, но всегда связан с определенного рода разногласиями. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антагонизм интересов порождает конфликт, а совпадение интересов сводит игру к координации действий (кооперации).

Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций.

В настоящее время ведутся научные исследования, направленные на расширение областей применения теории игр.
^

1.2. Терминология и классификация игр

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов , выполняемых игроками одновременно или последовательно.

Ходы бывают личными и случайными . Ход называется личным , если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным , если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты).

Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется партией .

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В простых (одноходовых) играх, когда в каждой партии игрок может сделать лишь по одному ходу, понятие стратегии и возможного варианта действий совпадают. В этом случае совокупность стратегий игрока охватывает все возможные его действия, а любое возможное для игрока i действие является его стратегией. В сложных (многоходовых играх) понятие «варианта возможных действий» и «стратегии» может отличаться друг от друга.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш, независимо от того, какие стратегии применяет противник. Могут быть использованы и другие критерии оптимальности.

Возможно, что стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш, не обладает другим важным представлением оптимальности, как устойчивостью (равновесностью) решения. Решение игры является устойчивым (равновесным), если соответствующие этому решению стратегии образуют ситуацию, которую ни один из игроков не заинтересован изменить.

Повторим, что задача теории игр - нахождение оптимальных стратегий.

Классификация игр представлена на рис. 1.1.

1. В зависимости от видов ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Азартные игры состоят только из случайных ходов - ими теория игр не занимается. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы, или все ходы личные, то такие игры называются стратегическими .

2. В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной - более двух.

3. Участники множественной игры могут образовывать коалиции, как постоянные, так и временные. По характеру взаимоотношений игроков игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные.

Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, и целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.

Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными .

Рис. 1.1. Классификация игр

Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.

В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.

4. По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и бесконечные (множество стратегий каждого игрока бесконечно).

5. По количеству информации , имеющейся у игроков относительно прошлых ходов, игры подразделяются на игры с полной информацией (имеется вся информация о предыдущих ходах) и неполной информацией . Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т.п.

6. По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме , в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретные моменты времени. Существуют дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения, которая описывается дифференциальными уравнениями.

Существуют также рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника.

7. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму выигрышей f i ,
всех N игроков (
), то говорят об игре с нулевой суммой . В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой .

Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антагонистической , так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно цели этих игроков прямо противоположны.

Конечная парная игра с нулевой суммой называется матричной игрой. Такая игра описывается платежной матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы соответвует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец - номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока).

Конечная парная игра с ненулевой суммой называется биматричной игрой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.

1.3. Примеры игр

Игра 1. Зачет

Пусть игрок 1 - студент, готовящийся к зачету, а игрок 2 - преподаватель, принимающий зачет. Будем считать, что у студента две стратегии: А 1 - хорошо подготовиться к зачету; А 2 - не подготовиться. У преподавателя имеется тоже две стратегии: В 1 - поставить зачет; В 2 - не поставить зачет. В основу оценки значений выигрышей игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей

	В 1	В 2		В 1	В 2
	+ (5) (оценили по заслугам)	- (-6) (обидно)		+ (0) (все нормально)	- (-3) (проявил несправедли вость)
	(1) (удалось словчить)	(0) (получил по заслугам)		-2 (дал себя обмануть)	- 1 (студент придет еще раз)
Выигрыши студента			Выигрыши преподавателя

Данная игра в соответствии с приведенной выше классификацией является стратегической, парной, бескоалиционной, конечной, описана в нормальной форме, с ненулевой суммой. Более кратко данную игру можно назвать биматричной.

Задача состоит в определении оптимальных стратегий для студента и для преподавателя.

^ Игра 2. Морра

Игрой “морра” называется игра любого числа лиц, в которой все игроки одновременно показывают (“выбрасывают”) некоторое число пальцев. Каждой ситуации приписываются выигрыши, которые игроки в условиях этой ситуации получают из “банка”. Например, каждый игрок выигрывает показанное им число пальцев, если все остальные игроки показали другое число; он ничего не выигрывает во все остальных случаях. В соответствии с приведенной классификацией данная игра является стратегической; в общем случае, множественной (в этом случае игра может быть бескоалиционной, коалиционной, и кооперативной) конечной.

В частном случае, когда игра парная - это будет матричная игра (матричная игра всегда является антагонистической).

Пусть два игрока «выбрасывают» одновременно один, два или три пальца. При четной сумме выигрывает первый игрок, при нечетной – второй. Выигрыш равен сумме «выброшенных пальцев». Таким образом, в данном случае каждый из игроков имеет по три стратегии, а матрица выигрышей первого игрока (проигрышей второго) имеет вид:

	В 1	В 2	В 3
А 1	2	-3	4
А 2	-3	4	-5
А 3	4	-5	6

где А i – стратегия первого игрока, заключающаяся в «выбрасывании» i пальцев;

В j – стратегия второго игрока, заключающаяся в «выбрасывании» j пальцев.

Что должен делать каждый из игроков, чтобы обеспечить себе максимальный выигрыш?

^ Игра 3. Борьба за рынки

Некая фирма А, имея в своем распоряжении 5 условных денежных единиц, пытается удержать два равноценных рынка сбыта. Ее конкурент (фирма В), имея сумму равную 4 условным денежным единицам, пытается вытеснить фирму А с одного из рынков. Каждый из конкурентов для защиты и завоевания соответствующего рынка может выделить целое число единиц своих средств. Считается, что если для защиты хотя бы одного из рынков фирма А выделит меньше средств, чем фирма В, то она проигрывает, а во всех остальных случаях – выигрывает. Пусть выигрыш фирмы А равен 1, а проигрыш равен (-1), тогда игра сводится к матричной игре, для которой матрица выигрышей фирмы А (проигрышей фирмы В) имеет вид:

	В 0	В 1	В 2	В 3	В 4
А 0	1	-1	-1	-1	-1
А 1	1	1	-1	-1	-1
А 2	-1	1	1	-1	-1
А 3	-1	-1	1	1	-1
А 4	-1	-1	-1	1	1
А 5	-1	-1	-1	-1	1

Здесь А i – стратегия фирмы А, заключающаяся в выделении i условных денежных единиц на защиту первого рынка; В j – стратегия фирмы В, заключающаяся в выделении j условных денежных единиц на завоевание первого рынка.

Если бы на защиту или завоевание рынков фирмы могли выделить любое количество средств из имеющихся, то игра стала бы бесконечной.

ТЕСТЫ

(В – Верно, Н – Неверно)

1. Всякая конфликтная ситуация является антагонистической.

2. Всякая антагонистическая ситуация является конфликтной.

4. Недостатком теории игр является предположение о полной разумности противников.

5. В теории игр предполагается, что не все возможные стратегии противника известны.

6. Теория игр включает элементы риска, неизбежно сопровождающие разумные решения в реальных конфликтах.

7. В теории игр нахождение оптимальной стратегии осуществляется по многим критериям.

8. Стратегические игры состоят только из личных ходов.

9. В парной игре число стратегий каждого участника равно двум.

10. Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коалиций без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными.

11. Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.

12. По виду описания игры делятся на игры с полной информацией или игры с неполной информацией.

13. Конечная множественная игра с нулевой суммой называется матричной.

14. Конечная парная игра с нулевой суммой называется биматричной игрой.

(Ответы: 1-Н; 2-В; 3-В; 4-В; 5-Н; 6-Н; 7-Н; 8-Н; 9-Н; 10-В; 11-В; 12-Н; 13-Н; 14-Н.)

Теория игр - это математическая теория стратегий, которая предполагает, что есть минимум два игрока и результат игры определяется их выбором. Если среди игроков есть конфликт предпочтений, этот конфликт не обязательно должен быть тотальным. В отличие от спортивных игр, если один игрок выигрывает, то другой не обязательно оказывается проигравшим. Конфликт интересов может быть частичным, и оба игрока могут выигрывать и проигрывать одновременно. Теория игр фокусируется на равновесных стратегиях игроков.

История исследований

Теорию игр придумали венгерский математик Джон фон Нейман и немецкий экономист Оскар Моргенштерн, которые в конце 1930-х годов переехали в США. Они встретились в Институте перспективных исследований Принстонского университета в 1940-х годах и написали книгу «Теория игр и экономическое поведение» (1944). Книга была переиздана в 1947 и в 1953 годах.

До этого, в 1928 году, Джон фон Нейман написал статью, в которой вывел теорему о минимаксе, считающуюся фундаментальной в теории игр. В Принстоне он работал с Моргенштерном над тем, чтобы применить теорию игр к экономике, а также к салонным играм вроде покера.

В своей книге фон Нейман и Моргенштерн смоделировали упрощенную версию покера и проанализировали оптимальные стратегии, которые выбирают игроки. Но спустя годы многие люди нашли их идеи полезными для экономики, биологии и в особенности для политологии. Более того, теория игр стала применяться в спорте и даже в таких дисциплинах, как философия. Теория игр предлагает структуру принятия решений и в условиях конфликта, и в условиях сотрудничества для игр, в которых два игрока или более.

Другие ученые также внесли немалый вклад в развитие теории игр. Среди них - Джон Нэш, который знаменит благодаря равновесию Нэша, и несколько математиков и экономистов, которые в разное время получили Нобелевскую премию по экономике за свои труды.

Игра в теории игр

Игра - это ситуация, в которой есть взаимозависимость между участниками или игроками. Если есть два игрока, то, что вы делаете, зависит от того, что делает другой игрок, а то, что делает другой игрок, зависит от того, что делаете вы. И результат зависит от выбора обоих игроков. Но в игре может быть больше двух игроков. В таком случае игроки чаще всего объединяются в коалиции.

Выбор стратегии

Люди выбирают стратегии, основываясь на результате. Один игрок выбирает стратегию, которая, по его мнению, для него выгодна, и другой делает то же самое. И никто из игроков не выиграет, если отступит от своей стратегии. Это называется «равновесный исход».

Это один из видов принятия решений в играх. Но теория игр - это история не только о выборе оптимальных стратегий, но также об оценке выгоды. Выгодой могут быть деньги, но, кроме того, она должна включать другие вещи, которых могут желать игроки. Вопрос в том, как распределить выгоду. Вопрос о справедливости часто поднимается в теории игр. Какое распределение благ справедливо по отношению ко всем игрокам? Как правило, это компромисс, в котором оба игрока удовлетворены исходом. Эта часть теории игр называется «кооперативная игра». В некооперативной игре игроки просто выбирают хорошие и плохие стратегии.

Джон Нэш обозначил это различие между двумя разными подходами в своих ранних статьях в 1950-х годах. Он внес фундаментальный вклад в развитие теории. Во второй половине ХХ века также сильно развивалась некооперативная теория игр, в которой игроки ищут оптимальные стабильные стратегии, ведущие к равновесному исходу. Но кооперативная теория игр также очень интересна, особенно для философов, которые изучают вопросы справедливости результата.

// Джон Нэш / wikipedia.org

Равновесие Нэша и дилемма заключенного

Равновесие Нэша определяется как исход, в котором есть два игрока, и ни один из игроков не отказывается от своей стратегии, потому что иначе он пострадает. Но это не означает обязательное наличие выгодного исхода для обоих игроков. Есть знаменитая игра, которая называется «Дилемма заключенного». В этой игре два игрока выбирают оптимальные стратегии, но результат получается не совсем выгодным для обоих. Есть более выгодный исход для обоих игроков, но этот исход нестабилен, и он не находится в равновесии Нэша. Появляется конфликт между выбором оптимальной стратегии и получением наилучшего результата.

История о дилемме заключенного следующая. Два преступника находятся в раздельных камерах. Каждого спрашивают, виновен ли он в определенном преступлении. Если оба признают, что виновны, каждый получит относительно тяжелое наказание - скажем, пять лет тюремного заключения. Но если оба откажутся признать вину, то получат относительно хороший результат - например, один год тюремного заключения. Но если один заключенный признает вину, а другой не признает, то результат будет очень печальным для того, кто признал вину, - десять лет в тюрьме. Его признают виновным, а второй преступник выйдет на свободу за то, что помог определить настоящего виновного.

// Дилемма заключенного / Giulia Forsythe (flickr.com)

Оба заключенных получают относительную выгоду (кооперативный исход - 1 год в тюрьме), если никто не сознается. Но у каждого есть соблазн предать другого заключенного. Если один признается, а другой нет, тот, что признался, избежит наказания, в то время как второй получит 10 лет лишения свободы. Но если оба признаются, то им тоже будет плохо (некооперативная игра - 5 лет лишения свободы). Это и называется дилеммой. Непонятно, что должны делать заключенные: должны ли они выбрать некооперативную игру и сознаться или они должны попытать удачу и не признаваться, сильно рискуя?

Кажется, что самое разумное решение для игроков - сотрудничество. Но это нестабильный исход, потому что у каждого игрока есть стимул не сотрудничать, а, наоборот, предать другого игрока. Хороший пример такой дилеммы - гонка вооружений между Советским Союзом и США в 1950–1990-х годах. В течение 45 лет две страны вели некооперативную игру, тратили много денег на вооружение, чтобы обойти другую сторону. Обе страны выиграли бы от того, чтобы не тратить столько средств на вооружение, а потратить их на социально полезные блага. Но каждая страна не доверяла другой, поэтому обе стороны продолжали производить оружие, и никто от этого не выигрывал.

// Дилемма заключенного / wikipedia.org

Справедливый дележ

Мы знаем, что переговоры часто бывают сложными. Мы всегда ищем пути, которые позволят обеим сторонам достичь кооперативного исхода, несмотря на то что игра может порой напоминать дилемму заключенного. Один из способов - попытаться определить, какие вопросы разделяют игроков, и использовать процедуру распределения справедливости, чтобы определить, кто в каких вопросах выиграет. Нужно сделать так, чтобы каждый выиграл в том вопросе, который наиболее важен именно для него.

Вы не получите всего, что хотите, но вы можете получить то, что для вас наиболее важно, особенно если вы и ваш противник хотите разных вещей. Другими словами, обе стороны могут выиграть. Это и есть беспроигрышные решения.

Теория игр в повседневной жизни

Беспроигрышные решения могут применяться в повседневной жизни. Например, Алан Тейлор и я в нашей книге «Делим по справедливости, или Гарантия выигрыша каждому» («The Win-Win Solution: Guaranteeing Fair Shares to Everybody») рассматривали развод Дональда Трампа и его первой жены, Иваны. Мы показали, что каждый супруг мог получить свою выгоду, если бы они пришли к соглашению, по которому каждый бы получил именно то, чего желал больше всего.

Например, Ивана больше всего хотела получить дом в Коннектикуте, где выросли ее дети, а Дональд хотел оставить особняк во Флориде. Мы показали, как они могли бы поделить имущество, особенно недвижимость, чтобы каждый остался доволен. Фактически они так и поступили. Но во многих случаях участники не могут прийти к соглашению, потому что игроки не могут прийти к такой процедуре.

Это процедура, которая помогает разрешать конфликты. Мы часто видим, что конфликты так и остаются конфликтами, потому что каждая сторона противится сотрудничеству. Поэтому люди не могут прийти к соглашению. Разводы бывают очень тяжелыми - не только в плане финансовой дороговизны и денег, которые нужно платить юристам, то также в смысле эмоционального истощения. Это ситуации, в которых может помочь теория игр.

Логично использовать подобную процедуру, но многие люди о ней просто не знают. Они борются друг с другом, хотя могут найти компромисс, который всех устроит. Они переживают, что, если не будут бороться, они проиграют, потому что другой игрок будет вести нечестную игру. Поэтому им кажется, что они тоже не должны идти на компромисс, чтобы создать баланс. Но мы знаем, что есть ситуации, в которых оба игрока могут прийти к компромиссу и в итоге к относительному выигрышу. Эмоции также играют важную роль, потому что стороны начинают злиться друг на друга, а это мешает размышлять логически.

Мы интуитивно используем теорию игр каждый день. Например, когда у человека есть проблема в отношениях с другом, подругой или супругом, он или она думает о хороших и плохих стратегиях для выигрыша в споре. Хотя никто не делает подсчетов, к которым прибегают теоретики игр, люди приходят к ним интуитивно. Но они часто делают ошибки. Теория игр может помочь думать более ясно и брать в расчет предпочтения противника так же, как и свои.

Теория игр и политика

Конфликты между США и Россией, США и Китаем, Китаем и Россией довольно типичны. У этих стран есть ряд вопросов, по которым они конфликтуют: территории, торговля, альянсы. Теория игр может помочь им достичь компромисса, к которому сложно прийти, если использовать неформальные переговоры.

Не нужно быть теоретиком игр, чтобы применять некоторые из принципов этой теории. Например, Генри Киссинджер, который был государственным секретарем при администрации Никсона, никогда не изучал теорию игр, но умел находить оптимальные решения. Понимание теории игр может быть полезным при анализе ситуаций, в которых результат зависит от выбора и взаимодействия двух человек или более.

Открытые вопросы

Вопросы относительно теории игр все время возникают в таких областях, как экономика, политика, биология. Но очень часто нужно расширение стандартной теории. Например, в 1970-х годах в биологии было предложено новое понимание равновесия, которое называют эволюционно стабильной стратегией. Эта стратегия кажется более применимой для анализа конфликтов между особями, чем равновесие Нэша. Теория игр - это история о том, как по-настоящему осмыслить проблемы и попытаться найти новые решения для них. Основы теории игр лежат в математике, но новые идеи, которые появляются из ее применения, способствуют ее росту и развитию.

Возможно, будет полезно почитать: