Какие параметры выделяют для описания геометрической фигуры. Электронная геометрическая модель объекта в дизайне. Модели двумерной графики
Моделирование – один из основных методов познания, который заключается в выделении из сложного явления (объекта) некоторых частей и замещении их другими объектами, более понятными и удобными для описания, объяснения и разработки.
Модель – реальный физический объект или процесс, теоретическое построение, упорядоченный набор данных, которые отражают некоторые элементы или свойства изучаемого объекта или явления, существенные с точки зрения моделирования.
Математическая модель – модель объекта, процесса или явления, представляющая собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого объекта, процесса или явления.
Геометрическое моделирование – раздел математического моделирования – позволяет решать разнообразные задачи в двумерном, трехмерном и, в общем случае, в многомерном пространстве.
Геометрическая модель включает в себя системы уравнений и алгоритмы их реализации. Математической основой построения модели являются уравнения, описывающие форму и движение объектов. Все многообразие геометрических объектов является комбинацией различных примитивов – простейших фигур, которые в свою очередь состоят из графических элементов - точек, линий и поверхностей.
В настоящее время геометрическое моделирование успешно используется в управлении и других областях человеческой деятельности. Можно выделить две основные области применения геометрического моделирования: проектирование и научные исследования.
Геометрическое моделирование может использоваться при анализе числовых данных. В таких случаях исходным числовым данным ставится в соответствие некоторая геометрическая интерпретация, которая затем анализируется, а результаты анализа истолковываются в понятиях исходных данных.
Этапы геометрического моделирования :
● постановка геометрической задачи, соответствующая исходной прикладной задаче или ее части;
● разработка геометрического алгоритма решения поставленной задачи;
● реализация алгоритма при помощи инструментальных средств;
● анализ и интерпретация полученных результатов.
Методы геометрического моделирования :
● аналитический;
● графический;
● графический, с использованием средств машинной графики;
● графоаналитические методы.
Графоаналитические методы основываются на разделах вычислительной геометрии, таких как теория R-функций, теория поверхностей Кунса, теория кривых Безье, теория сплайнов и др.
Для современных научных исследований характерно использование, наряду с двумерными и трехмерными, многомерных геометрических моделей (физика элементарных частиц, ядерная физика и т. д.).
Системы координатСистема координат (СК) – совокупность базисных (линейно независимых) векторов и единиц измерения расстояния вдоль этих векторов (e 1, e 2, …, en ).
Если базисные вектора нормированы (единичной длины) и взаимно ортогональны, то такая СК называется декартовой (ДСК).
Мировая система координат (МСК) – xyz – содержит точку отсчета (начало координат) и линейно независимый базис, благодаря которым становится возможным цифровое описание геометрических свойств любого графического объекта в абсолютных единицах.
Экранная система координат (ЭСК) – x эy эz э. В ней задается положение проекций геометрических объектов на экране дисплея. Проекция точки в ЭСК имеет координату z э = 0. Тем не менее, не следует отбрасывать эту координату, поскольку МСК и ЭСК часто выбираются совпадающими, а, вектор проекции [x э, y э, 0] может участвовать в преобразованиях, где нужны не две, а три координаты.
Система координат сцены (СКС) – x сy сz с – описывает положение всех объектов сцены - некоторой части мирового пространства с собственным началом отсчета и базисом, которые используются для описания положения объектов независимо от МСК.
Объектная система координат (ОСК) – x оy оz о – связана с конкретным объектом и совершает с ним все движения в СКС или МСК.
В трехмерном пространстве (R3):
● ортогональная декартова СК (x , y , z );
● цилиндрическая СК (ρ, y , φ);
● сферическая СК (r , φ, ω).
Соотношение между декартовой СК и цилиндрической СК :
Соотношение между декартовой СК и сферической СК :
Соотношение между цилиндрической СК и сферической СК : Аффинные преобразования
Аффинным называется преобразование, обладающее следующими свойствами :
● любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа простейших: сдвиг, растяжение/сжатие, поворот;
● сохраняются прямые линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, и отношение площадей фигур.
Аффинные преобразования координат на плоскости :
(x , y ) – двумерная система координат,
(X , Y ) – координаты старой СК в новой системе координат.
Обратное преобразование:
2. Растяжение/сжатие осей:
Обратное преобразование
Обратное преобразование – поворот системы (X ,Y ) на угол (-α):
Аффинные преобразования объектов на плоскости .
x , y – старые координаты точки, X , Y – новые координаты точки.
Сдвиг:
Обратное преобразование:
Масштабирование объекта:
Обратное преобразование:
3. Поворот вокруг центра координат:
Обратное преобразование:
Лекция 8 Геометрические модели плоских объектов Основные понятия
Положение точки в пространстве Rn (n -мерном пространстве) задается радиус-вектором p = [p 1, p 2, … , pn ], имеющим n координат p 1, p 2, … , pn и разложение по n линейно-независимым базисным векторам e 1, e 2, … , en :
https://pandia.ru/text/78/331/images/image019_47.gif" width="277" height="59">
Линия на плоскости может быть задана с помощью уравнения в неявной форме:
(НФ) f (x ,y )= 0;
или в параметрической форме:
(ПФ) p (t )= [x (t ), y (t )].
В любой регулярной (гладкой и некратной) точке на линии p 0= [x 0, y 0]= p (t 0) возможна линеаризация кривой, т. е. проведение к ней касательной прямой, уравнения которой имеют вид
(НФ) Nx (x - x 0) + Ny (y - y 0) = 0 или N ◦ (p - p 0) = 0,
(ПФ) x (t ) = x 0 + Vx t , y (t )= y 0 + Vy t или p (t ) = p 0 + Vt .
Вектор нормали N = [Nx , Ny ] ортогонален линии и направлен в ту сторону, где f (p )> 0.
Направляющий вектор линии V = [Vx , Vy ] начинается в точке p 0 и направлен по касательной к p (t ) в сторону увеличения t .
Векторы N и V ортогональны, т. е. N ◦ V = 0 или NxVx + NyVy = 0.
Связь вектора нормали и направляющего вектора:
N =[Vy , - Vx ], V =[-Ny , Nx ]
Способы описания (модели) прямой линииНеявное уравнение прямой задается тремя коэффициентами A , B и D , составляющими вектор F = [A , B , D ]:
(НФ): Ax + By + D =0.
Хотя бы одно из чисел A или B должно быть ненулевым.
Если оба коэффициента ненулевые (A ≠0 и B ≠0), то прямая проходит наклонно к осям координат и пересекается с ними в точках (-D / A , 0) и (0, - D / B ).
При A =0, B ≠0 уравнение By + D =0 описывает горизонтальную прямую y = – D / B .
При A ≠0, B = 0 уравнение Ax + D =0 описывает вертикальную прямую x = – D / A .
Прямая проходит через начало координат: f (0,0)=0 при D =0.
Благодаря свойству прямой разделять плоскость на две полуплоскости с противоположными знаками, неявное уравнение позволяет определять положение точки (точек) на плоскости относительно прямой:
1) точка q лежит на прямой, если f (q )=0;
2) точки a и b лежат по одну сторону от прямой, если f (a )∙ f (b )>0;
3) точки a и b лежат по разные стороны от прямой, если f (a )∙ f (b )0 точка a лежит в том же полупространстве, куда направлена нормаль, а угол Ð (a - p 0, N ) острый;
● при f (b )
Возможно, будет полезно почитать:
- Дом смирнова тверской бульвар ;
- Усадьба васильчиковых Шкаф в приемной ;
- Я живу в высотке на «Красных Воротах Где находятся красные ворота ;
- Архитектурные обмеры: Дом Лобановых-Ростовских ;
- Пристройка веранды к дому под общую крышу: как сделать это правильно ;
- Подключение диммера: инструкция и советы Подключение диммера смарт дим 105 к люстре ;
- Изготовление ворот своими руками: пошаговая инструкция Как сделать металлические ворота ;
- Беседки из камня – строим комфортную зону отдыха на дачном участке Беседка из дерева и камня ;