Случайная величина имеет плотность вероятности. Функция распределения вероятностей. Плотность вероятностей. Перечислим свойства дисперсии

Непрерывную с. в. можно задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности, или дифференциальной функцией распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с. в. Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Для описания распределения вероятностей дискретной с. в. плотность распределения не применима.

Вероятностный смысл плотности распределения.

Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная с. в. примет значение, принадлежащее интервалу (x, x +∆x), к длине этого интервала (при ∆x → 0) равен значению плотности распределения в точке х.

Функция плотности характеризует каждое значение непрерывной случайной величины в отдельности, а не целый диапазон как это имеет место для функции распределения.

Вероятность попадания непрерывной с. в. в заданный интервал.

По формуле Ньютона – Лейбница:

P{a < X  b}= F(b) – F(a),

таким образом

Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

Полагая в предыдущей формуле а = -∞, b = х, и заменив переменную интегрирования х на t имеем:

F(х) = P{X  х}=P{-∞< X  х},

следовательно

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)0 (т.к. интегральная функция распределения – неубывающая функция, а плотность распределения ее первая производная).

Свойство 2:

Доказательство. Несобственный интеграл
выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащая интервалу (-∞, ∞). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х и кривой распределения, равна единице.

Вчастности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b), то
.

Возможный график плотности распределения (пример)

f 1 (x) – плотность распределения размера выигрыша в 1-й игре

f 2 (x) – плотность распределения размера выигрыша во 2-ой игре

Какая игра предпочтительней?

Числовые характеристики случайных величин. .

Данные характеристики позволяют решать многие задачи, не зная закона распределения случайных величин.

Характеристики положения случайной величины на числовой оси.

Математическое ожидание это есть среднее взвешенное значений случайной величины Х, в которое абсцисса каждой точки х i входит с «весом», равным соответствующей вероятности.

Математическое ожидание иногда называют просто средним значением с.в.

Обозначение: m x или M [X].

Для дискретной случайной величины

M [X] =

Для непрерывной случайной величины

Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (то для которого вероятность p i , или плотность распределения f(x) достигает максимума).

Обозначение: 

Различают унимодальные распределения (имеют одну моду), полимодальные распределения (имеют несколько мод) и анимодальные (не имеют моды)

унимодальное

Медиана – это такое значение случайной величины х m , для которого выполняется следующее равенство:

P{X < х m }= P{X > х m }

Медиана делит площадь,ограниченную f(x), пополам

Если плотность распределения случайной величины симметрична и унимодальна, то М[X],  и х m совпадают

М[X], , х m – неслучайные величины

Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают .Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа, т. е.. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси(рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на этой оси, то функция распределенияесть вероятность того, что случайная точкав результате испытания попадет левее точки.

Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения,, … ,, функция распределения имеет вид

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения, которые по своей величине меньше. Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величиныразрывна и возрастает скачками при переходе через точки,, … ,, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения (рис. 7). Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8).

Рис. 7. Рис. 8.

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что.

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. при .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения рана нулю, а на плюс бесконечности функция распределения рана единице, т. е. ,.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

Найти коэффициент и построить график. Определить вероятность того, что случайная величинав результате опыта примет значение на интервале.

Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, то приполучим:. Отсюда. График функцииизображен на рис. 9.

Исходя из второго свойства функции распределения, имеем:

4. Плотность распределения вероятности и ее свойства.

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения равна производной от функции распределения, т. е.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величинав некоторой окрестности точкипри повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределенияслучайной величины, называетсякривой распределения .

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от до, т. е.

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участокравна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Определить коэффициент ; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок отдо; определить функцию распределения и построить ее график.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим: . Следовательно, плотность распределения может быть выражена так:

График плотности распределения изображен на рис. 10. По свойству 3 имеем

Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:

Таким образом, имеем

График функции распределения изображен на рис. 11.

Свойства плотности распределения

Для начала напомним, что такое плотность распределения:

Рассмотрим свойства плотности распределения:

Свойство 1: Функция $\varphi (x)$ плотности распределения неотрицательна:

Доказательство.

Мы знаем, что функция распределения $F(x)$ - неубывающая функция. Из определения следует, что $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, а производная неубывающей функции -- есть функция неотрицательная.

Геометрически это свойство означает, то график функции $\varphi \left(x\right)$ плотности распределения находится либо выше, либо на самой оси $Ox$ (рис. 1)

Рисунок 1. Иллюстрация неравенства $\varphi (x)\ge 0$.

Свойство 2: Несобственный интеграл от функции плотности распределения пределах от $-\infty $ до $+\infty $ равен 1:

Доказательство.

Вспомним формулу для нахождения вероятности того, что случайная величина попадет интервал $(\alpha ,\beta)$:

Рисунок 2.

Найдем вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(-\infty ,+\infty $):

Рисунок 3.

Очевидно, что случайная величина всегда попадет в интервал $(-\infty ,+\infty $), следовательно, вероятность такого попадания равна единице. Получаем:

Геометрически, второе свойство означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции плотности распределения $\varphi (x)$ и осью абсцисс численно равна единице.

Можно также сформулировать обратное свойство:

Свойство 3: Любая неотрицательная функция $f(x)\ge 0$, удовлетворяющая равенству $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)dx}=1$ является функцией плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины.

Вероятностный смысл плотности распределения

Придадим переменной $x$ приращение $\triangle x$.

Вероятностный смысл плотности распределения: Вероятность того, что непрерывная случайная величина $X$ примет значения из интервала$(x,x+\triangle x)$, приближенно равна произведению плотности распределения вероятности в точке $x$ на приращение $\triangle x$:

Рисунок 4. Геометрическая иллюстрация вероятностного смысла плотности распределения непрерывной случайной величины.

Примеры решения задач с использованием свойств плотности распределения

Пример 1

Функция плотности распределения вероятности имеет вид:

Рисунок 5.

Найти коэффициент $\alpha $.
Построить график плотности распределения.

Рассмотрим несобственный интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}$, получаем:

Рисунок 6.

Используя свойство 2, получим:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac{1}{2}.\]

То есть, функция плотности распределения имеет вид:

Рисунок 7.

Построим её график:

Рисунок 8.

Пример 2

Функция плотности распределения имеет вид $\varphi \left(x\right)=\frac{\alpha }{chx}$

(Напомним, что $chx$ -- гиперболический косинус).

Найти значение коэффициента $\alpha $.

Решение. Используем второе свойство:

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\alpha }{chx}dx}=1,\] \[\alpha \int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}=1,\] \[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}={\mathop{lim}_{a\to -\infty } \int\limits^0_a{\frac{dx}{chx}}\ }+{\mathop{lim}_{b\to +\infty } \int\limits^b_0{\frac{dx}{chx}}\ }\]

Так как $chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, то

\[\int{\frac{dx}{chx}}=2\int{\frac{dx}{e^x+e^{-x}}}=2\int{\frac{de^x}{{1+e}^{2x}}}=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}={\mathop{lim}_{a\to -\infty } \left(-2arctge^a\right)\ }+{\mathop{lim}_{b\to +\infty } \left(2arctge^b\right)\ }=\pi \]

Следовательно:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac{1}{\pi }\]

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.

Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.

Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .

Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :

При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

а за пределами существования распределения её значение равно нулю

Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F (x ) - парабола:

График функции f (x ) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то

x > 10 , то F (x ) = 1 .

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f (x ) :

График функции F (x ) :

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .

Решение. По условию приходим к равенству

Следовательно, , откуда . Итак,

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

1.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины. В этом вопросе мы рассмотрим плотность распределения вероятности и её свойства.

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения . Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на элементарный участок
:

Составим отношение этой вероятности к длине участка
:

Полученное отношение называется средней вероятностью, которая приходится на единицу длины этого участка.

Считая функцию распределения F (х) дифференцируемой, перейдем в равенстве (1) к пределу при
; тогда получим:

Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от х до х+∆х к длине этого участка ∆х , когда ∆х стремится к нулю, называется плотностью распределения случайной величины в точке х и обозначается f (x ).

В силу равенства (2) плотность распределения f (х) равна производной от функции распределения F (х), т. е.

Смысл плотности распределения f (х) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Кривая, изображающая плотность распределения f (х) случайной величины, называется кривой распределения. Примерный вид кривой распределения представлен на рис.1.

Заметим, что если возможные значения случайной величины заполняют некоторый конечный промежуток, то плотность распределения f (x ) = 0 вне этого промежутка.

Выделим на оси абсцисс элементарный участок ∆х , примыкающий к точке х (рис. 2), и найдем вероятность попадания случайной величины X на этот участок. С одной стороны, эта вероятность равна приращению
функции распределения F (х), соответствующему приращению ∆ x = dx аргумента х. С другой стороны, вероятность попадания случайной величины X на элементарный участок dx с точностью до бесконечно малых высшего порядка, чем ∆х равна f (x ) dx (так как ∆ F (x )≈ dF (х) = f (x ) dx ). Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника с высотой f (x ) и основанием dx (рис. 2). Величина f (x ) dx называется элементом вероятности..

Следует обратить внимание на то, что не все случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, являются непрерывными случайными величинами. Встречаются такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы. Такие случайные величины называются смешанными. Так, например, в задаче обнаружения сигнала в шумах амплитуда полезного сигнала является смешанной случайной величиной X , которая может принимать любое значение, как положительное, так и отрицательное.

Дадим теперь более строго определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F (х\ непрерывна на всей оси Ох, а плотность распределения f (x ) существует везде, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что плотность распределения
есть производная от неубывающей функции распределения F (x ).

Свойство 2 . Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от – ∞ до х, т. е.

. (3)

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок
равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

. (4)

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Если интервал возможных значений случайной величины имеет конечные пределы а и b , то плотность распределения f (х) = 0 вне промежутка
и свойство 4 тогда можно записать так:

Пример . Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

Требуется:

1) Найти коэффициент а.

2) Найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до .

Решение . 1) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством 4 плотности распределения:

откуда .

2) По формуле (4) имеем:

Модой
непрерывной случайной величины Х называется то её значение, при котором плотность распределения максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение, для которого равновероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , то есть:

Геометрически мода является абсциссой той точки кривой распределения, ордината которой максимальна (для дискретной случайной величины модой является абсцисса точки полигона с максимальной ординатой).

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Заметим, что если распределение является одномодальным и симметрическим, то математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

Отметим также, что третий центральный момент или асимметрия служит характеристикой «скошенности» распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то для кривой распределения (гистограммы)
. Четвертый центральный момент служит для характеристик островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Формулы для нахождения асимметрии и эксцесса были нами рассмотрены на предыдущей лекции.

2.Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон или закон распределения Гаусса, плотность вероятности которого имеет вид:

, (5)

где
– параметры нормального распределения.

Так как нормальное распределение зависит от двух параметров и
, то его называют ещё двухпараметрическим распределением.

Нормальный закон распределения применяется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие.

Докажем, что в формуле (5) параметр а является математическим ожиданием, а параметр
– среднеквадратическим отклонением:

Первый из интегралов равен нулю, так как подынтегральная функция является нечетной. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона:

Вычислим дисперсию:

График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса (рис.3).

Отметим некоторые свойства кривой:

1.Функция плотности распределения вероятностей определена на всей числовой оси, то есть
.

2.Область значений функции
, то есть кривая Гаусса располагается выше оси абсцисс и не пересекает её.

3. Ветви кривой Гаусса асимптотически стремятся к оси
, то есть

4.Кривая симметрична относительно прямой
. Таким образом для нормального распределения математическое ожидание совпадает с модой и медианой распределения.

5.Функция имеет один максимум в точке с абсциссой
, равный
. С возрастанием
кривая Гаусса становится более пологой, а при убывании
– более «островершинной».

6. Кривая Гаусса имеет две точки перегиба с координатами
и
.

7.Если при неизменном
изменять математическое ожидание, то кривая Гаусса будет сдвигаться вдоль оси
: вправо – при возрастании а , и влево – при убывании.

8.Асимметрия и эксцесс для нормального распределения равны нулю.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок
. Известно, что

Пользуясь заменой переменной

. (6)

Интеграл
не выражается через элементарные функции, поэтому для вычисления интеграла (6) пользуются таблицами значений специальной функции, которая называется функцией Лапласа , и имеет вид:

После несложных преобразований получим формулу для вероятности попадания случайной величины на заданный промежуток
:

. (7)

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1.
.

2.
является нечетной функцией.

3.
.

График функции распределения приведен на рис.4.

Пусть требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине не превосходит заданного положительного числа , то есть вероятность осуществления неравенства
.

Воспользуемся формулой (7) и свойством нечетности функции Лапласа:

Положим
и выберем
. Тогда получим:

Это означает, что для нормально распределенной случайной величины с параметрами а и
выполнение неравенства
является практически достоверным событием. В этом заключается так называемое правило «трех сигм».

Возможно, будет полезно почитать: